TEOREMA DE PITAGORAS
Grados 6° - 8°
Una Investigación Sobre El Teorema De Pitágoras
Descripción General
Este proyecto busca que los estudiantes manejen con fluidez el teorema de Pitágoras, realizando diferentes tipos de actividades que van desde la conjetura sobre el resultado del teorema hasta la demostración y generalización del mismo en otro tipo de figuras diferentes al triángulo rectángulo. Mediante la utilización de software gráfico y Hojas electrónicas, los estudiantes llegan al teorema y a partir de éste inician un estudio práctico sobre los números irracionales, sobre Pitágoras mismo y sobre las triplas pitagóricas. Finalmente, los estudiantes aplican el teorema en problemas de medición en objetos reales.
Objetivos Específicos del Proyecto - Facilitar la comprensión de problemas geométricos con ayuda de las herramientas de la Tecnología
- Comprometer a los estudiantes en una investigación sobre las triplas de números que satisfacen el teorema de Pitágoras.
- Estimular en los estudiantes la propuesta de conjeturas matemáticas con relación al teorema de Pitágoras, que les permitan posteriormente, examinar demostraciones gráficas del mismo.
- Aplicar y extender el teorema en aplicaciones de la vida real.
| GRADOS | PARA ESTUDIANTES |
| 6° - 8° | 2,4,5,6,7,8,9,10 |
Conocimientos y Destrezas Previas del Estudiante
- Tener conocimientos generales de geometría y conceptos básicos de álgebra que le permitan entender adecuadamente el tipo de problemas en estudio.
- Manejar software para procesamiento de texto y gráficos (ej: Word, más lo que se pueda obtener de Internet sobre Geometría o disponer de software específico sobre el tema).
- Saber utilizar software para realizar presentaciones (ej: Power Point).
- Manejar Hojas electrónicas de cálculo (ej: Excel).
- Disponer del hardware necesario que permita manejar los programas de procesamiento de datos más usuales, incluyendo los periféricos necesarios para ese fín.
- Se sugieren los siguientes sitios en Internet relacionados con el tema:
Software para Geometría
Esta búsqueda en el motor Google ofrece la posibilidad de obtener software que permita realizar pruebas gráficas del teorema de Pitágoras. Se puede buscar en ella, el programa que mejor se ajuste a las necesidades del colegio y del proyecto.
Idealmente se debería disponer del programa de computador Geometer´s Sketchpad, de la Empresa Key Curriculum Press (www.keypress.com/product_info), el cual puede ordenarse usando Internet. Si ésto no es posible, se sugiere usar el software que se puede obtener de los sitios encontrados en el punto inmediatamente anterior, o realizar los procedimientos gráficos con lápiz y papel.
Referencias históricas de Pitágoras y sus contribuciones a la humanidad pueden hallarse usando algún motor de búsqueda de Internet como http://www.google.com/, http://www.yahoo.com/ y http://www.altavista.com/ entre otros.
Se estima un tiempo entre una y dos semanas para la realización del proyecto.
Desarrollo de ProyectoEl Profesor deberá:
- Obtener los recursos necesarios para llevar a cabo el proyecto. Entre otras cosas, un programa dinámico de geometría que permita la manipulación de figuras (Algunos programas de diseño como Corel permiten un manejo similar), además de materiales para cortar, pegar y medir.
- Conocer la manera de navegar en Internet y de "bajar" programas de la Red o contar con la asesoría del profesor de Tecnología o de un adulto cercano a los estudiantes y conocedor del tema.
- Introducir los conceptos de hipotenusa y catetos mediante el desarrollo de una actividad en grupos, de tres o cuatro estudiantes. Para esto se usan figuras rectangulares, las cuales se deben cortar en sus esquinas, de tal forma que las triángulos que se formen así tengan un ángulo recto. Los lados de los diferentes triángulos que se obtienen de esta forma se deben medir. Estas medidas se deben almacenar en una hoja de cálculo para analizar los tamaños de las longitudes medidas.
- Sugerir a los estudiantes un patrón de exploración de las relaciones entre estas longitudes cuando se elevan al cuadrado, si los estudiantes no las descubren con anterioridad.
- Introducir la relación pitagórica entre los lados de un triángulo rectángulo, mediante el planteamiento de conjeturas por parte de los estudiantes, usando actividades en las que se utilice el software sobre geometría. Entre éstas, está la medición de áreas de cuadrados con los lados de los tríangulos rectángulos, de polígonos o semicírculos. La actividad vale la pena extenderla a tríangulos no rectángulos.
- Presentar el teorema de Pitágoras a partir de las conjeturas de los estudiantes, si ellos no lo han hecho ya. Pedirles que investiguen sobre este filósofo y matemático griego. En la sección de Recursos y Materiales se sugieren algunos enlaces en Internet para este efecto.
- Hacer a los estudiantes una demostración visual del teorema.
- Aplicar el teorema en una actividad a diseñar en la que los estudiantes midan distancias en diferentes lugares del colegio. Por ejemplo determinar la distancia entre dos puntos fijos que tengan diferentes alturas (uno en un primer piso y otro en un segundo piso o la distancia entre la raíz de un árbol y la copa de otro)
- Establecer los lineamientos generales de una presentación en la que los estudiantes muestren diferentes maneras visuales de demostrar el teorema. También pedirles que presenten al menos una conjetura sobre una posible extensión del teorema a otros triángulos, que muestren varias triplas pitagóricas diferentes y que indiquen la forma como midieron distintas distancias en el colegio.
- Llevar a cabo las mediciones de los lados de los triángulos rectángulos que se obtienen de acuerdo a las indicaciones dadas por el profesor al respecto.
- Consignar en una hoja de cáculo las diferentes medidadas obtenidas en el punto anterior.
- Analizar las relaciones entre las medidas de los lados de los triángulos rectángulos.
- Establecer conjeturas sobre una posible relación entre estas medidas de acuerdo a las actividades propuestas por el profesor, teniendo en cuenta la información recolectada en las hojas de cálculo y los trabajos desarrollados con el software sobre geometría.
- Llevar a cabo la actividad propuesta por el profesor de medir en el colegio diferentes distancias, para comprobar mediante experiencias reales los resultados del teorema de Pitágoras.
- Realizar una exposición multimedia final en la que cada grupo de estudiantes muestre a sus compañeros los resultados obtenidos durante la realización del proyecto, en la que se debe incluír la reseña histórica sobre Pitágoras. Aquí se deben tener en cuenta las directrices generales dadas por el profesor al respecto.
- Periódicamente cada actividad puede evaluarse con base en lo siguiente: Reportes de los grupos sobre las investigaciones
- Demostración de las pruebas visuales con explicaciones de las mismas
- Contrucción de demostraciones dinámicas si se consigue el software especial de Geometría
- Aplicación del proyecto en la medición de las distancias entre lugares predeterminados del colegio. - El profesor está en libertad de crear cualquier otro criterio de evaluación que considere pertinente y adecuado, de acuerdo al desarrollo del currículo de la materia a la que corresponde el proyecto.
PORCENTAJES Y PREDICCIONES
DESCRIPCIÓN:
Cada uno de los estudiantes recibe una bolsa con dulces de colores y cuenta la cantidad que le correspondieron de cada color. Se utilizan bolsas de dulces surtidos para esta tarea y puede escogerse la marca que sea más conveniente. Los estudiantes ingresan los totales individuales a la Hoja de Cálculo “DulcesColores1.php” [1]. Agrupados de a tres, calculan el número promedio de dulces de cada color que tienen en su grupo. Calculan la proporción del número de cada color con respecto a la cantidad total de dulces (eje: 28 azules de un total de 123 dulces) y establecen ese resultado cómo porcentaje. Se usa la información obtenida para hacer una gráfica de Torta.
HABILIDADES DE LA HOJA DE CÁLCULO QUE SE PRACTICAN:
ACTIVIDAD CON EL COMPUTADOR [3]
Los estudiantes se organizan en grupos de tres. Ingresan el número total de los colores de los dulces de sus bolsas y de los de las bolsas de los otros miembros de su grupo en la Plantilla de “DulcesColores1.php” [1] y hacen una gráfica que represente sus datos. Realizan durante el ejercicio, predicciones del total de dulces de cada color, existentes en la “Bolsa Misteriosa”, Ver más adelante las “Instrucciones para los Estudiantes” que contienen indicaciones detalladas.
FIGURA 1: Plantilla del Grupo (DulcesColores1.php)
FIGURA 2: Plantilla “Dulces de la Clase” (DulcesColores2.php)
FIGURA 3: Tarea CompletaDependiendo de la habilidad matemática de los estudiantes y de su experiencia con las Hojas de Cálculo, puede que sea necesario discutir, cómo contestar las preguntas, o realizar una demostración de cómo se hace el ejercicio, o hacer una impresión del ejercicio ya completo. Se asume que los estudiantes ya saben cómo realizar un cuadro o una gráfica.
Es posible que algunos grupos no sean capaces de hacer independientemente las fórmulas y necesiten una copia impresa con ejemplos de ejercicios que las muestren.
INSTRUCCIONES PARA LOS ESTUDIANTES:
Figura 4: Formateo de Porcentajes [3]
PRIMERA PREDICCIÓN:
SEGUNDA PREDICCIÓN:
HOJAS DE CÁLCULO
Aprender a utilizar todo el potencial que tienen las Hojas de Cálculo (H. de C.) para enseñar distintas materias del currículo entre los grados de Kindergarten y 11º es la propuesta que plantea en su libro “La Magia de las Hojas de Cálculo” (Spreadsheet Magic) la maestra Pam Lewis; Surafricana, Psicóloga de la Universidad de Sur África, quién posteriormente realizó los EEUU un Magíster en ciencias, concentrándose en el área de computadores en educación. Actualmente es profesora y coordinadora de informática en el Colegio “St. Luke”, de Brookfield, Winsconsin en el que enseña tanto a estudiantes entre kindergarten y 8º grados como a maestros, la forma de integrar la Tecnología al currículo.
Aprender a utilizar todo el potencial que tienen las Hojas de Cálculo (H. de C.) para enseñar distintas materias del currículo entre los grados de Kindergarten y 11º es la propuesta que plantea en su libro “La Magia de las Hojas de Cálculo” (Spreadsheet Magic) la maestra Pam Lewis; Surafricana, Psicóloga de la Universidad de Sur África, quién posteriormente realizó los EEUU un Magíster en ciencias, concentrándose en el área de computadores en educación. Actualmente es profesora y coordinadora de informática en el Colegio “St. Luke”, de Brookfield, Winsconsin en el que enseña tanto a estudiantes entre kindergarten y 8º grados como a maestros, la forma de integrar la Tecnología al currículo.
Ella considera que las H. de C. son herramientas de aprendizaje poderosas y que si los estudiantes tienen acceso a computadores, deben utilizarlas. Argumenta que desarrollan en los estudiantes habilidades cómo: a) organización de datos, realizando diferentes tipos de gráficas con los datos provenientes de las H. de C. se ayuda grandemente en la presentación de información a una audiencia; b) utilización de elementos visuales concretos para explorar conceptos matemáticos abstractos, lo que de paso, ayuda a los estudiantes que aprenden en forma visual (utilizar color y matices o sombras en las celdas para visualizar por ejemplo sumas y restas) a comprender mejor estos conceptos; c) estimulación del desarrollo de habilidades intelectuales de orden superior mediante el uso de fórmulas para manipular números con lo que pueden responderse preguntas condicionales del tipo “si….entonces”; d) promoción del desarrollo de habilidades para la solución de problemas y e) motivación para sostener el interés del estudiante en completar tareas tediosas si se llevan a cabo con lápiz y papel.
PROYECTO
DULCES DE COLORES
Proporciones, Porcentajes y Predicciones
DULCES DE COLORES
Proporciones, Porcentajes y Predicciones
DESCRIPCIÓN:
Cada uno de los estudiantes recibe una bolsa con dulces de colores y cuenta la cantidad que le correspondieron de cada color. Se utilizan bolsas de dulces surtidos para esta tarea y puede escogerse la marca que sea más conveniente. Los estudiantes ingresan los totales individuales a la Hoja de Cálculo “DulcesColores1.php” [1]. Agrupados de a tres, calculan el número promedio de dulces de cada color que tienen en su grupo. Calculan la proporción del número de cada color con respecto a la cantidad total de dulces (eje: 28 azules de un total de 123 dulces) y establecen ese resultado cómo porcentaje. Se usa la información obtenida para hacer una gráfica de Torta.
Se recogen los datos de toda la clase. Los estudiantes hacen una Hoja de Calculo [2] que alimentan con éstos datos y calculan, para toda la clase, el número promedio de dulces de cada color. A lo largo de la lección, se pide a los estudiantes hacer predicciones sobre la cantidad de dulces de cada color que existe en la “Bolsa Misteriosa”, utilizando primero sus datos individuales, luego los de su grupo y finalmente los de toda la clase. Entonces, se abre la “Bolsa Misteriosa”. Los estudiantes examinan cuál es la predicción más acertada y discuten sobre probabilidad. Se puede extender el ejercicio, comparando los porcentajes promedio obtenidos por la clase, con las cantidades que se listan en el sitio Web del fabricante de los dulces.
HABILIDADES DE LA HOJA DE CÁLCULO QUE SE PRACTICAN:
- Ingreso de los datos recolectados por los estudiantes
- Calculo de promedios y relaciones (proporciones) usando fórmulas
- Formateo de números en forma de porcentajes
- Realización de cuadros y gráficas
- Búsquedas en Internet (en la extensión del ejercicio)
ACTIVIDAD CON EL COMPUTADOR [3]
Los estudiantes se organizan en grupos de tres. Ingresan el número total de los colores de los dulces de sus bolsas y de los de las bolsas de los otros miembros de su grupo en la Plantilla de “DulcesColores1.php” [1] y hacen una gráfica que represente sus datos. Realizan durante el ejercicio, predicciones del total de dulces de cada color, existentes en la “Bolsa Misteriosa”, Ver más adelante las “Instrucciones para los Estudiantes” que contienen indicaciones detalladas.
FIGURA 1: Plantilla del Grupo (DulcesColores1.php)
El maestro supervisa mientras los estudiantes ingresan los datos de sus propias bolsas de dulces en la Plantilla de toda la clase: “DulcesColores2.php” [2]. Cuándo todos los estudiantes hayan ingresado los datos, la Hoja de Cálculo denominada “DULCES DE LA CLASE” (DulcesColores2.php), se guarda. Cada grupo recibe una copia de ésta última Hoja de Cálculo (copia digital en disquete, en la red de la escuela o en el disco duro).
FIGURA 2: Plantilla “Dulces de la Clase” (DulcesColores2.php)
Los estudiantes ingresan los totales de la clase en sus propias Hojas de Cálculo y realizan una nueva gráfica con ellos. Se muestra un ejemplo de la totalidad del trabajo de cada grupo en la figura 3. En esta se han ingresado los datos, se han establecido los porcentajes y se han elaborado las gráficas.
FIGURA 3: Tarea Completa
Es posible que algunos grupos no sean capaces de hacer independientemente las fórmulas y necesiten una copia impresa con ejemplos de ejercicios que las muestren.
EXTENSIÓN DEL EJERCICIO:
- Pida a los estudiantes que calculen la discrepancia entre lo que se predice y lo que es real.
- Solicite a los estudiantes que hagan una predicción del número total de dulces que hay en cada bolsa.
Sugerencia: Para obtener el promedio total por bolsa y por grupo, divida el total de todos los números que hay en cada bolsa por el número total de personas de la clase. - Los estudiantes pueden acceder el sitio oficial (web) del fabricante de los dulces [4]. Se les puede pedir que tomen de éste las relaciones que publica la compañía. Pueden hacer una gráfica que muestre las cuotas oficiales que tiene la compañía para cada color con los porcentajes de las cantidades oficiales.
- Pida a los estudiantes que trabajen el número más alto, el más bajo, y el rango para cada conjunto de datos (la bolsa del cada estudiante, los hallazgos de su grupo y los datos de la clase.
INSTRUCCIONES PARA LOS ESTUDIANTES:
- Conforme grupos de tres (3) estudiantes.
- Abra su bolsa de dulces y cuente el número de dulces de cada color.
- Abra la plantilla “DulcesColores1.php” [1]
- Ingrese el número de cada color y el total en la fila 4
- Ingrese una fórmula en la celda B5 para calcular la proporción entre cada color y la totalidad de los dulces.
- Para formatear este número como porcentaje, seleccione la celda, haga clic en la opción “Formato” del Menú, luego seleccione “Celdas”, por último, marque la opción “Porcentaje” que se encuentra en la pestaña “Número”. [3]
Figura 4: Formateo de Porcentajes [3]
- Para extender esa fórmula hacia la derecha, seleccione la celda B5, arrastre el ratón (mouse) hasta G6, haga clic en la opción “Edición” del menú, luego seleccione “Rellenar” y escoja la opción “Hacia la derecha” [3].
- Haga una gráfica para mostrar sus hallazgos y llámela “Porcentaje de Color en mi Bolsa”. (Resalte las celdas adyacentes, haga clic en el menú en “Insertar”, y seleccione Gráfico)
- Teniendo los datos de su bolsa, ¿qué cantidad de dulces de cada color predice usted que haya en la Bolsa Misteriosa?
PRIMERA PREDICCIÓN:
- Ingrese los datos de su bolsa en la Hoja de Cálculo de la Clase [2] y guárdela. Cada grupo recibirá una copia de éste archivo o una impresión después de que todos los estudiantes hayan ingresado sus datos.
- En su Hoja de Calculo personal “DulcesColores1.php” [1], en las filas 6 y 7, entre el número de dulces de cada color pertenecientes a los otros miembros de su grupo.
- Sume el número de cada color en las filas 4, 6 y 7 para obtener el total de su grupo para cada color. Ingrese el total del grupo para cada color en la fila 8.
- Calcule el porcentaje del grupo en la fila 9.
- ¿Cómo difieren estos porcentajes de los cálculos que usted realizó usando únicamente sus datos?
- Dados los datos de su grupo ¿qué cantidad de dulces de cada color predice usted que hay en la Bolsa Misteriosa?
SEGUNDA PREDICCIÓN:
- El maestro le dará los totales de la clase. Ingréselos en la fila 10 de la Hoja de Cálculo “DulcesColores1.php”.
- Calcule el porcentaje de la clase en la fila 11.
- Duplique los datos de la fila 11 en la fila 14 (Los datos y los títulos necesitan estar en celdas adyacentes para poderse graficar)
- Utilizando datos de los totales de la clase, filas 13 y 14, haga una gráfica
- Compare sus porcentajes con los de la clase y comente:
- Dados los datos de toda la clase, ¿qué cantidad de dulces de cada color predice usted que hay en la Bolsa Misteriosa?
TERCERA PREDICCIÓN:
- Guarde e imprima su Hoja de Cálculo y Gráficas
- El maestro abrirá la Bolsa Misteriosa y compartirá el total de los colores
- ¿Cuál fue la mejor predicción (sus propios datos, los de su grupo o los de la clase? ¿Por qué?
funciones
Resumen
Esta lección está diseñada para introducir a los estudiantes a la graficación de funciones.
Objetivos
Al terminar esta lección, los estudiantes habrán:
•Conocido la graficación de funciones en el plano de coordenadas cartesianas.
•Conocido varias categorías de funciones, incluyendo rectas y parábolas.
Estándares
Las actividades y las discusiones de esta lección consultan los siguientes estándares del CNMM:
Álgebra
Entender patrones, relaciones y funciones.
•Representar, analizar, y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando sea posible, con reglas simbólicas.
•Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.
•Identificar funciones como lineales o no lineales y contrastar sus propiedades mediante tablas, gráficos o ecuaciones.
Representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras, mediante símbolos algebraicos.
•Desarrollar una comprensión conceptual sobre diferentes usos de variables.
•Explorar relaciones entre expresiones simbólicas y gráficos de rectas, prestando particular atención a los significados de intercepto y pendiente.
•Usar álgebra simbólica para representar situaciones y para resolver problemas, en especial los que involucran relaciones lineales.
•Reconocer y generar formas equivalentes de expresiones algebraicas sencillas y resolver ecuaciones lineales.
Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.
•Desarrollar y resolver modelos para problemas, usando varias representaciones, como gráficos, tablas y ecuaciones.
•Usar gráficos para analizar la naturaleza de los cambios en cantidades relacionadas linealmente.
Prerrequisitos para los estudiantes
•Aritmética: Los estudiantes requieren ser capaces de:
◦Manejar enteros y fracciones.
◦Graficar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas.
◦Leer en un gráfico las coordenadas de un punto.
•Algebraica: Los estudiantes requieren ser capaces de:
◦Trabajar con expresiones algebraicas muy sencillas.
•Tecnológica: Los estudiantes requieren ser capaces de:
◦Hacer las operaciones básicas con el ratón del computador, tales como señalar, hacer clic y arrastrar.
◦Utilizar navegadores como Netscape, para experimentar con las actividades.
Preparación del maestro
Los estudiantes requieren:
•Acceso a un navegador.
•Lápiz y papel para gráficos
•Copias del material suplementario para las actividades:
◦Hoja de trabajo para la actividad El dibujante de gráficos
Terminología importante
Esta lección presenta a los estudiantes los siguientes términos que serán incluidos en las discusiones:
•función constante
•constantes
•coordenadas
•plano de coordenadas
•función
•gráfico
•número negativo
Bosquejo de la lección
Estas actividades pueden ser desarrolladas individualmente o en grupos hasta de cuatro estudiantes. Se deben presupuestar unas dos o tres horas de clase para la totalidad de la lección, en caso de que todos sus apartes sean desarrollados en horas de clase.
1.Énfasis y revisión
Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.
◦¿Puede alguien decirme qué es una función?
◦¿Quién puede dar un ejemplo de una función?
◦¿Quién puede dar un ejemplo de lo que no es una función?
2.Objetivos
Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy. Dígales algo como:
•Hoy vamos a aprender más sobre funciones.
•Utilizaremos el computador para hacer esto, pero por favor no lo prendan hasta que yo lo indique. Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.
3.Aportes del maestro
Dirija una discusión acerca de cómo se relacionan las funciones y los gráficos.
4.Práctica guiada
◦Permita a los estudiantes practicar sus habilidades para graficar puntos, para varias funciones sencillas, y asegúrese que tienen habilidad para graficar manualmente. Aun cuando tengan disponibles calculadoras graficadoras, haga que los estudiantes grafiquen en papel para gráficos, habilidad que es importante que practiquen. Aquí hay algunas funciones que podría asignar:
1.y = 3x - 2
2.y = x^2
3.y = 3 - 4x
4.y = 4 - x^2
◦Haga que los estudiantes practiquen sus habilidades de graficación, solicitándoles que revisen el trabajo realizado con la actividad anterior, graficando las mismas funciones utilizando la actividad El dibujante de gráficos.
◦Permita que los estudiantes investiguen las funciones de la forma: y = _____ x + ____ usando la actividad El dibujante de gráficos para determinar la clase de funciones que genera esta forma y observar qué pasa con la función cuando se cambian cada una de las constantes. Asegúrese que registren lo que hacen y escriba sus hipótesis y observaciones.
◦Relacione estos gráficos con la lección sobre Funciones lineales para demostrar el razonamiento de los términos m = pendiente y b = al intercepto en la formula Y = m * X + b.
5.Práctica independiente
◦Haga que los estudiantes repitan el ejercicio anterior con las funciones de la forma y = y____ x^2 + ____.
6.Cierre
◦Es aconsejable reunir nuevamente a la clase para discutir los resultados. Una vez que ellos hayan compartido sus experiencias, resuma los resultados de la lección.
Bosquejos alternativos
Esta lección se puede reordenar de varias maneras:
•Reemplace todas las actividades de El dibujante de gráficos, con actividades de graficación con calculadora. Nota: dependiendo de la calculadora disponible, podría ser necesario dedicar algún tiempo adicional para discutir la fijación de rangos en las pantallas.
•Reemplace todas las actividades de El dibujante de gráficos, con actividades de El gráfico sencillo. Esta última es una actividad para graficar puntos que requiere que el estudiante elabore una tabla de valores para las funciones, antes de graficarlos.
•Limite las investigaciones a funciones con una sola operación, como en la lección Máquinas de función, y/o a funciones lineales como en la lección Funciones lineales.
Seguimiento sugerido
Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes tendrán más experiencia con funciones y graficación. La siguiente lección, Lectura de gráficos, les mostrará que los gráficos se pueden utilizar para comunicar mucha información acerca de una determinada situación.
Esta lección está diseñada para introducir a los estudiantes a la graficación de funciones.
Objetivos
Al terminar esta lección, los estudiantes habrán:
•Conocido la graficación de funciones en el plano de coordenadas cartesianas.
•Conocido varias categorías de funciones, incluyendo rectas y parábolas.
Estándares
Las actividades y las discusiones de esta lección consultan los siguientes estándares del CNMM:
Álgebra
Entender patrones, relaciones y funciones.
•Representar, analizar, y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando sea posible, con reglas simbólicas.
•Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.
•Identificar funciones como lineales o no lineales y contrastar sus propiedades mediante tablas, gráficos o ecuaciones.
Representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras, mediante símbolos algebraicos.
•Desarrollar una comprensión conceptual sobre diferentes usos de variables.
•Explorar relaciones entre expresiones simbólicas y gráficos de rectas, prestando particular atención a los significados de intercepto y pendiente.
•Usar álgebra simbólica para representar situaciones y para resolver problemas, en especial los que involucran relaciones lineales.
•Reconocer y generar formas equivalentes de expresiones algebraicas sencillas y resolver ecuaciones lineales.
Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.
•Desarrollar y resolver modelos para problemas, usando varias representaciones, como gráficos, tablas y ecuaciones.
•Usar gráficos para analizar la naturaleza de los cambios en cantidades relacionadas linealmente.
Prerrequisitos para los estudiantes
•Aritmética: Los estudiantes requieren ser capaces de:
◦Manejar enteros y fracciones.
◦Graficar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas.
◦Leer en un gráfico las coordenadas de un punto.
•Algebraica: Los estudiantes requieren ser capaces de:
◦Trabajar con expresiones algebraicas muy sencillas.
•Tecnológica: Los estudiantes requieren ser capaces de:
◦Hacer las operaciones básicas con el ratón del computador, tales como señalar, hacer clic y arrastrar.
◦Utilizar navegadores como Netscape, para experimentar con las actividades.
Preparación del maestro
Los estudiantes requieren:
•Acceso a un navegador.
•Lápiz y papel para gráficos
•Copias del material suplementario para las actividades:
◦Hoja de trabajo para la actividad El dibujante de gráficos
Terminología importante
Esta lección presenta a los estudiantes los siguientes términos que serán incluidos en las discusiones:
•función constante
•constantes
•coordenadas
•plano de coordenadas
•función
•gráfico
•número negativo
Bosquejo de la lección
Estas actividades pueden ser desarrolladas individualmente o en grupos hasta de cuatro estudiantes. Se deben presupuestar unas dos o tres horas de clase para la totalidad de la lección, en caso de que todos sus apartes sean desarrollados en horas de clase.
1.Énfasis y revisión
Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.
◦¿Puede alguien decirme qué es una función?
◦¿Quién puede dar un ejemplo de una función?
◦¿Quién puede dar un ejemplo de lo que no es una función?
2.Objetivos
Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy. Dígales algo como:
•Hoy vamos a aprender más sobre funciones.
•Utilizaremos el computador para hacer esto, pero por favor no lo prendan hasta que yo lo indique. Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.
3.Aportes del maestro
Dirija una discusión acerca de cómo se relacionan las funciones y los gráficos.
4.Práctica guiada
◦Permita a los estudiantes practicar sus habilidades para graficar puntos, para varias funciones sencillas, y asegúrese que tienen habilidad para graficar manualmente. Aun cuando tengan disponibles calculadoras graficadoras, haga que los estudiantes grafiquen en papel para gráficos, habilidad que es importante que practiquen. Aquí hay algunas funciones que podría asignar:
1.y = 3x - 2
2.y = x^2
3.y = 3 - 4x
4.y = 4 - x^2
◦Haga que los estudiantes practiquen sus habilidades de graficación, solicitándoles que revisen el trabajo realizado con la actividad anterior, graficando las mismas funciones utilizando la actividad El dibujante de gráficos.
◦Permita que los estudiantes investiguen las funciones de la forma: y = _____ x + ____ usando la actividad El dibujante de gráficos para determinar la clase de funciones que genera esta forma y observar qué pasa con la función cuando se cambian cada una de las constantes. Asegúrese que registren lo que hacen y escriba sus hipótesis y observaciones.
◦Relacione estos gráficos con la lección sobre Funciones lineales para demostrar el razonamiento de los términos m = pendiente y b = al intercepto en la formula Y = m * X + b.
5.Práctica independiente
◦Haga que los estudiantes repitan el ejercicio anterior con las funciones de la forma y = y____ x^2 + ____.
6.Cierre
◦Es aconsejable reunir nuevamente a la clase para discutir los resultados. Una vez que ellos hayan compartido sus experiencias, resuma los resultados de la lección.
Bosquejos alternativos
Esta lección se puede reordenar de varias maneras:
•Reemplace todas las actividades de El dibujante de gráficos, con actividades de graficación con calculadora. Nota: dependiendo de la calculadora disponible, podría ser necesario dedicar algún tiempo adicional para discutir la fijación de rangos en las pantallas.
•Reemplace todas las actividades de El dibujante de gráficos, con actividades de El gráfico sencillo. Esta última es una actividad para graficar puntos que requiere que el estudiante elabore una tabla de valores para las funciones, antes de graficarlos.
•Limite las investigaciones a funciones con una sola operación, como en la lección Máquinas de función, y/o a funciones lineales como en la lección Funciones lineales.
Seguimiento sugerido
Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes tendrán más experiencia con funciones y graficación. La siguiente lección, Lectura de gráficos, les mostrará que los gráficos se pueden utilizar para comunicar mucha información acerca de una determinada situación.
EL REY DE LA FRACCION
Resumen
Combinando la imaginación, el juego de cubos y algunos "applets" de computador es posible enseñar fracciones a los estudiantes. El uso de esta variedad de herramientas despertará el interés de los estudiantes y les enseñará sobre fracciones.
Estándares (CNMM 3-5)
Números y operaciones
Entiende los números, forma de representarlos, relaciones entre ellos y sistemas de números.
- Entiende las fracciones como partes de un todo, como partes de un conjunto, como ubicación en rectas numéricas y como división de números enteros.
- Utiliza modelos, puntos de referencia y formas equivalentes para juzgar el tamaño de las fracciones.
- Reconoce y genera formas equivalentes de fracciones, decimales y porcentajes comúnmente usados.
Prerrequisitos para los estudiantes
- Tecnológicos: Los estudiantes deberán ser capaces de:
- Hacer con el ratón del computador operaciones básicas, tales como señalar, hacer clic y arrastrar.
- Usar un navegador, como Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.
Preparación del maestro
Los estudiantes necesitarán:
- Acceso a un navegador.
- Lápiz y papel.
- 50 cubos, 50 fichas o granos o 50 pedazos de papel más o menos del mismo tamaño.
Bosquejo de la lección
- Énfasis y revisión
- Revise el vocabulario pertinente.
- Informe a los estudiantes que hoy aprenderán sobre fracciones .
- Objetivos
Los estudiantes demostrarán sus conocimientos sobre fracciones utilizando manipulables y "applets" de computador.
- Aportes del maestro
- Haga que los estudiantes participen en el escenario de El rey de las fracciones.
- Entregue a cada estudiante 50 cubos o pequeños cuadrados de papel de similar tamaño.
- Haga que los estudiantes formen parejas.
- Práctica guiada
- Solicite a los miembro A de las parejas que coloquen 30 de sus cubos en 5 grupos iguales y que ignoren el resto de los cubos. Haga que los miembros B coloquen 30 de sus cubos en 3 grupos iguales y que ignoren el resto.
- Una vez que todos los estudiantes hayan agrupado sus cubos de acuerdo a las instrucciones, haga que cada uno totalice el número de cubos que colocó en sus grupos.
- Hágales las siguientes preguntas:
- ¿Cuántos cubos son iguales a 3/5 de 30?
- ¿Cuántos cubos son iguales a 1/5 de 30?
- ¿Cuántos cubos son iguales a 4/5 de 30?
- Una vez que los estudiantes superen las dificultades de esta actividad hágales preguntas como:
- ¿Cuánto es 3/4 de 24?
- ¿Cuánto es 1/6 de 24?
- ¿Cuánto es 2/8 de 48?
- Haga que los estudiantes ordenen sus cubos para que calculen la respuesta a cada una de estas preguntas.
- Circule por la clase para revisar el trabajo que están haciendo los estudiantes.
- Una vez los estudiantes superen las dificultades de esta actividad hágales preguntas como las siguientes:
Mencióneles que para responder estas preguntas ellos siempre deben utilizar la misma cantidad de cubos. También puede resolver la primera pregunta con el grupo.Por ejemplo: haga que los estudiantes formen 2 grupos de 10 cubos cada uno. Haga que el primer grupo lo dividan en 10 grupos iguales, y que el otro grupo lo dividan en 5 grupos iguales. Finalmente haga que comparen 3/5 de 10 y 8/10 de 10 y que le digan cuál es mayor.
- ¿Cuál fracción es mayor 2/3 o 3/9?
- ¿Cuál fracción es mayor 1/2 o 1/5?
- Pídales a los estudiantes que abran el "applet" Buscador de fracciones .
- Guíelos en 1 o 2 de los problemas generados por el computador.
- Práctica independiente
- Permita a los estudiantes trabajar en parejas y por turnos con el "applet" Buscador de fracciones .
- Si lo desea, haga que los estudiantes dibujen y marquen cada uno de los problemas generados por el computador, para tener algo escrito que les sirva para verificar y controlar.
- Cierre
- Revise vocabulario pertinente como: fracción, denominador y numerador.
- Revise qué representa cada una de las partes de una fracción.
- Repase cómo las fracciones pueden ser parte de un objeto o parte de un conjunto de objetos.
Extensiones y modificaciones
- Haga que los estudiantes más avanzados compitan entre sí generando fracciones entre puntos extremos utilizando el "applet" Buscador de fracciones entre puntos extremos .
- Para los estudiantes que no puedan responder las preguntas del "applet" Buscador de fracciones , utilice el "applet" Buscador de fracciones entre puntos extremos para que puedan generar sus propias fracciones en puntos extremos, como por ejemplo 1/4 y 3/4.
- Es posible que este tema lo deba trabajar durante varios días para que quede bien claro entre todos los estudiantes.
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